一、ε-Ν、ε-δ 数学分析语言的引入
首先需要引入数学分析语言 ε-Ν、ε-δ，以便后面对极限定义的理解与说明。
在数轴上，我们常用两个点差的绝对值来描述两个点之间的距离，例如 5 和 7 的距离为：
|5−7| = 2
现在引入极限的概念：
当自变量无限趋近但不等于某个点时，因变量无限趋近于某个值，则称这个值为这个式子在自变量无限趋近某个点时的极限。
显然，在自变量不断趋近某个点的过程中，因变量与极限值的距离不断缩小，即因变量与极限值差的绝对值越来越小，
也就是 |f(x)−a| 的值越来越小。
二、通过函数例子理解极限与 ε 语言
这里以函数 f(x)=1/x 为例。
显然，当 x 趋近于无穷时，f(x) 趋近于 0，即：
lim 1/x（x→∞）=0
此时，|1/x−0| 会随着 x 的无限增大而趋近于 0。
在 x 不断增大的过程中，如果我们对 |1/x−0| 的大小进行规定，例如：
规定 |1/x−0|＜0.1
则当 x＞10 时，|1/x−0|＜0.1 必然发生规定 |1/x−0|＜0.02
则当 x＞50 时，|1/x−0|＜0.02 必然发生
也就是说，|1/x−0| 可以小于非常小、要多小有多小的数，只要 x 与这个“要多小有多小的数”是对应的。
换句话说：
|1/x−0| 小于任意一个数如果是必然发生的事件，那么一定会有一个与之对应的条件。
这个条件在数列中表现为：
n＞Ν
想让必然事件发生，就一定要有对应的条件约束。
三、ε-Ν 语言的本质理解
如果想让 |1/x−0| 小于“要多小有多小的数”，那么只需要让：
n＞Ν
其中：
ε 表示 任意给定的精度要求
Ν 并不是提前固定的
Ν 是 允许依赖于 ε 来选取的
引入 ε-δ、ε-Ν 语言，正是为了说明：
“要想让 |1/x−0| 小于要多小有多小的数必然成立，与之对应所需要的条件是什么。”
四、数列极限存在的证明思路
数列极限存在的证明，主要依据数列极限的 ε-Ν 定义。
1. 数列极限的 ε-Ν 定义
设数列 {Xn}，a 为常数。
若对 ∀ε＞0，∃ 正整数 Ν，使得当 n＞Ν 时，恒有：
|Xn−a|＜ε
则称数列 Xn 的极限为 a。
2. 极限存在证明的核心思路
若要证明某个数列的极限为 a，实际需要证明的是：
|Xn−a| 能够小于一个非常小的数。
而想让某个必然事件发生，就需要让必然事件发生所需要的条件成立。
因此，证明的关键在于：
找出使 |Xn−a|＜ε 成立的 n 的条件。
3. 一般证明步骤总结
任取 ε＞0
对 |Xn−A| 进行化简、放缩
将常量 A 代入
得到 n＞g(ε)
取 Ν=[g(ε)]+1
当 n＞Ν 时，|Xn−A|＜ε 恒成立，极限存在，得证。
五、数列极限不存在的证明思路
数列极限不存在的证明，主要抓住其存在的充要条件：
任意两个子列的极限都相等。
因此，只需要：
构造两个子列
证明这两个子列的极限不同
即可说明原数列极限不存在。
六、函数极限存在的证明思路
函数极限的证明与数列极限的证明 大同小异。
区别在于：
数列极限中条件是：n＞Ν
函数极限中条件是：|x−x0|＜δ
对应的必然事件为：
|f(x)−A|＜ε
因此，在对 |f(x)−A|＜ε 进行化简、放缩、代入时，需要往 |x−x0| 去凑，最终求出满足要求的 δ。
七、函数极限不存在的证明思路
既然存在数列极限不存在的证明，那么同样存在函数极限不存在的证明。
但数列极限不存在是通过 子列极限不同 来证明的，那么函数极限不存在该如何证明？
通常有两种思路：
否定函数极限存在的必要条件
利用 海涅定理 的等价刻画构造反例
八、海涅定理及其作用
1. 海涅定理的内容
函数 fx 在 x→x0 时极限为 A 的充要条件是：
对任意数列 {Xn}，当 n→（正）无穷时，xn→x0，都有：
lim f(xn)（n→∞）= A
2. 构造数列的两个限制条件
使用海涅定理时，构造的数列需满足：
数列的每一项都在函数的定义域内
对任意 n，xn ≠ x0
3. 海涅定理的两个主要作用
将函数极限问题转化为数列极限问题
用于证明函数极限不存在
九、利用海涅定理证明函数极限不存在
证明函数极限不存在时，可以：
构造两个数列
满足 n→∞ 时，xn→x0
且 xn 的每一项都在函数定义域内
并保证任意 n，xn ≠ x0
将构造的数列代入函数中的 x（这里“代入”只是为了方便理解），若：
两个代入后的数列极限不同
或至少有一个极限不存在
则可说明原函数在 x→x0 时极限不存在。
十、三角函数情形的补充说明
对于含有三角函数的函数，若能构造一条数列，使得：
f(xn) 本身作为数列不存在极限
则可直接说明函数极限不存在。
具体做法是：
将数列代入函数
对得到的数列表达式
使用数列极限不存在的证明方法进行证明
结语
无论是数列极限还是函数极限：
极限存在的证明，本质是寻找“必然事件成立的条件”
极限不存在的证明，本质是构造“条件失效的反例”
理解 ε-Ν、ε-δ 语言的真正含义，比记忆形式化定义更为重要。