函数极限性质一共有三个：
唯一性
局部有界性
局部保号性
一、唯一性
其实唯一性是最好理解的，它的内容为：
如果函数 fx 在 x→x0 时极限为 A，则 A 必定唯一。
有些教材不将唯一性单列为性质，而是视为极限定义的直接推论。
二、局部有界性
1. 性质内容（直观描述）
若函数 fx 在 x→x0 时极限存在，则函数 fx 在 x0 某去心邻域内有界，即局部有界。
2. 数学分析语言的等价表述
如果 fx 极限为 A，那么存在常数 M＞0 和 δ＞0，使得当
0＜|x−x0|＜δ 时，有
|fx|≤M。
3. 证明
极限存在是前提，极限存在以后才有极限性质。
所以函数 fx 在 x→x0 时极限为 A，等价于：
对任意 ε＞0，存在 δ＞0，当
0＜|x−x0|＜δ 时，
|fx−A|＜ε 恒成立。
想要证明 |fx|≤M，那么就需要找出满足需求的 M。
根据绝对值不等式：
|fx| = |fx−A+A| ≤ |fx−A| + |A| ＜ ε + |A|
由于极限定义对任意 ε＞0 都成立，特别地，对 ε=1 也成立，
于是有：
|fx|＜1+|A|
那么取：
M = 1+|A|
就能够保证 |fx|≤M，问题得证。
三、局部保号性
这个性质很重要，是连接函数值与极限值大小关系的一个桥梁。
准确来说，函数极限的全部性质都可以说成是连接函数值与极限值关系的桥梁，除此之外还有：
函数的连续性
海涅定理
夹逼定理
ε-Ν、ε-δ 语言描述等
后面也可以单独进行系统总结。
1. 性质内容
设函数 fx 在 x→x0 的极限值为 A：
（1）极限值推函数值的大小关系
① 如果 A＞0（或 A＜0），
则存在 δ＞0，当
0＜|x−x0|＜δ（x0 的某个去心邻域）时，
fx＞0（或 fx＜0）。
（2）函数值推极限值的大小关系
② 如果存在 δ＞0，当
0＜|x−x0|＜δ 时，
fx≥0（或 fx≤0），
那么 A≥0（或 A≤0）。
2. 第一条的证明（极限值 → 函数值）
函数 fx 在 x→x0 时极限为 A，等价于：
对任意 ε＞0，存在 δ＞0，当
0＜|x−x0|＜δ 时，
|fx−A|＜ε 恒成立。
ε 可以任意取，所以这里取 ε＝A/2。
代入得：
|fx−A|＜A/2
化简展开得：
A/2＜fx＜3A/2
又因为 A＞0，所以 A/2＞0，因此：
fx＞0
得证。
关于 ε 取值的说明
可能产生疑问：
如果取 ε＝2A，那么 fx 只需大于 −A，怎么还能推出 fx＞0？
原因在于：
保号性只要求存在一个邻域
邻域由 δ 确定
δ 由 ε 决定
只要存在一个 ε（如 A/2）能推出 fx＞0，就必然存在对应 δ
因此结论成立。
一个重要说明
极限值 A＝0 不能推出 fx＝0。
例如：
fx＝1/x
当 x→+∞ 时，极限值为 0，但 fx 始终 ＞0 或 ＜0，从不为 0。
3. 第二条的证明（函数值 → 极限值）
已知：fx≥0
要证：A≥0
使用反证法。
设 A＜0。
由第一条保号性可知：
如果极限值＜0，则函数值 fx＜0。
这与已知条件 fx≥0 矛盾。
因此 A＜0 不成立，结论为：
A≥0
得证。
结语
函数极限的三大性质虽然表述不同，但本质都来源于极限定义本身。
真正的理解关键不在记结论，而在于：
会用 ε-δ 语言
理解“存在一个邻域”的逻辑意义
建立函数值与极限值之间的关系桥梁